Subsets vs Proper Subsets

Είναι φυσικό να συνειδητοποιήσουμε τον κόσμο μέσα από την κατηγοριοποίηση των πραγμάτων σε ομάδες. Αυτή είναι η βάση της μαθηματικής έννοιας «Set Theory». Η θεωρία των συνόλων αναπτύχθηκε στα τέλη του δέκατου ένατου αιώνα και τώρα είναι πανταχού παρούσα στα μαθηματικά. Σχεδόν όλα τα μαθηματικά μπορούν να εξαχθούν χρησιμοποιώντας τη θεωρία των συνόλων ως θεμέλιο. Η εφαρμογή της θεωρίας συνόλων κυμαίνεται από αφηρημένα μαθηματικά σε όλα τα θέματα στον απτό φυσικό κόσμο.

Το υποσύνολο και η σωστή υποενότητα είναι δύο ορολογίες που χρησιμοποιούνται συχνά στη θεωρία των συνόλων για την εισαγωγή σχέσεων μεταξύ συνόλων.

Αν κάθε στοιχείο σε σύνολο Α είναι επίσης μέλος ενός συνόλου Β, τότε το σύνολο A ονομάζεται υποσύνολο Β. Αυτό μπορεί επίσης να διαβαστεί ως "Το Α περιέχεται στο Β". Πιο τυπικά, το Α είναι ένα υποσύνολο του Β, που υποδηλώνεται από το A⊆B, αν το x∈A υπονοεί το x∈B.

Οποιοδήποτε σετ είναι ένα υποσύνολο του ίδιου συνόλου, διότι, προφανώς, οποιοδήποτε στοιχείο βρίσκεται σε ένα σετ θα βρίσκεται επίσης στο ίδιο σετ. Έστω ότι το Α είναι ένα σωστό υποσύνολο του Β, αν το Α είναι ένα υποσύνολο του Β αλλά το Α δεν είναι ίσο με Β. Για να υποδηλώσουμε ότι το Α είναι ένα σωστό υποσύνολο του Β, χρησιμοποιούμε τη σημείωση A⊂B. Για παράδειγμα, το σύνολο {1,2} έχει 4 υποσύνολα, αλλά μόνο 3 σωστά υποσύνολα. Επειδή το {1,2} είναι ένα υποσύνολο αλλά όχι ένα σωστό υποσύνολο {1,2}.

Εάν ένα σύνολο είναι ένα σωστό υποσύνολο άλλης σειράς, είναι πάντα ένα υποσύνολο αυτού του συνόλου (δηλαδή αν το Α είναι ένα σωστό υποσύνολο του Β, αυτό σημαίνει ότι το Α είναι ένα υποσύνολο του Β). Αλλά μπορεί να υπάρχουν υποσύνολα, τα οποία δεν είναι σωστά υποσύνολα του υπερπληθυσμού τους. Αν δύο σύνολα είναι ίσα, τότε είναι υποσύνολα μεταξύ τους, αλλά όχι σωστό υποσύνολο το ένα του άλλου.